3. Математикалық модельдеудегі координаталар

3.1 Координаталардың түрленуі. Тензордың жалпы түсінігі

3.2 Метрикалық тензор. Декарттық тензор

3.3 Декарттық тензорларды түрлендіру заңдары. Кронекер дельтасы. Ортогональдылық шарттары

3.4 Декарттых тензорларды қосу. Скалярға көбейту. Тензорларды көбейту. Векторлық көбейтінді. Леви-Чивита тензоры. Бивектор

Өзіндік жұмысқа арналған сұрақтар

3.3 Декарттық тензорларды түрлендіру заңдары. Кронекер дельтасы. Ортогональдылық шарттары

Айталық, және  жүйелері жалпы бастамасы кез-келген О нүктесінде болатын декарттық жүйелер болсын. Егер  болса, онда осьтер бағыты келесі кестемен

3.1-кесте

Остер бағыты

немесе

түрлендіру тензорымен анықталады. Сонымен бірге

                .                          (1.88)

Мұны барлық базистік векторлар үшін жазсақ:

                            .                                             (1.89)

Егер кез-келген  векторы штрихсіз жүйеде

                            ,                                                         (1.90)

және штрихті жүйеде

                            ,                                                          (1.91)

түрінде берілсе, онда (1.89) – ды (1.91) – ге қойып келесі теңдікті аламыз:

                            .                                                      (1.92)

(1.92) және (1.90) формулаларын салыстырсақ, онда

                                        .                                             (1.93)

(1.93) – бірінші рангілі декарттық тензорды түрлендіру заңы. Осыдан кері тұжырым орындалатыны айқын, яғни

                                        .                                             (1.94)

(1.93) және (1.94) формулалары негізінде

                                        .                        (1.95)

Дербес жағдайда  теңдігі орындалу керек.

                                                              (1.96)

теңдігін Кронекер дельтасы деп атаймыз. Онда

                                        .                            (1.97)

(1.97) – ортонормальдық немесе ортогональдық шарты деп аталады. (1.93) және (1.94) түріндегі сызықтық түрлендірулер ортогональдық түрлендірулер деп аталады.

Кронекер дельтасын кейде ауысу операторы деп те атайды. Себебі,

                ,                 (1.98)

                ,         (1.99)

                                                                                       (1.100)

(1.94) түрлендіру ережесіне сәйкес  жүйесіндегі  диадалары

                ,             (1.101)

компоненттерге ие болады. Екінші рангілі кез-келген декарт тензорын түрлендіру келесі ережеге бағынады:

                            .                                  (1.102)

 жүйесінен  жүйесіне көшкенде

                            .                                  (1.103)

N – рангілі тензор үшін

                            .                   (1.104)